חשבון וריאציות

חשבון וריאציות הוא תחום במתמטיקה אשר עוסק במציאת נקודות קיצון של פונקציונלים, בניגוד לחשבון דיפרנציאלי רגיל אשר עוסק בפונקציות. פונקציונל הוא בדרך כלל מיפוי מקבוצה של פונקציות לשדה המספרים הממשיים. פונקציונלים לרוב מבוטאים כאינטגרלים מסוימים של פונקציות בלתי ידועות ונגזרותיהן. המטרה היא מציאת פונקציות אשר יביאו את הפונקציונל למקסימום או למינימום.

השיטה פותחה בשלהי המאה ה-17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויאקוב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים.

הדוגמה הפשוטה ביותר לבעיה כזו היא מציאת העקום בעל האורך המינימלי בין שתי נקודות, אשר נקרא גאודיזה. במרחב אוקלידי הפתרון הוא קו ישר, אבל אם יש מגבלות על הפתרון, למשל שהקו יימצא על משטח כלשהו, הפתרון פחות ברור מאליו. בעיה קשורה היא עיקרון פרמה באופטיקה: האור עובר במסלולים בעלי מסלול אופטי מינימלי בין שתי נקודות (המסלול האופטי תלוי בתווך). עיקרון קשור במכניקה הוא עקרון הפעולה המינימלית.

בעיות חשובות רבות עוסקות בפונקציות בעלות משתנים מרובים. פתרון בעיות עם תנאי שפה למשוואת לפלס מקיימות את עיקרון דיריכלה. בעיית פלטיאו דורשת מציאת משטח בעל שטח מינימלי אשר עובר במתאר נתון במרחב. הפתרון לבעיה זו קשור לאופן היווצרות בועות סבון בעת טבילת מסגרת ברזל במי סבון. אף על פי שניסויים כאלו הם קלים לביצוע, התיאור המתמטי שלהם לעיתים סבוך: ישנם כמה פתרונות אפשריים ויכולה להיות להם טופולוגיה לא טריוויאלית.

היסטוריה

פיתוח חשבון הווריאציות החל כאשר בעיית הברכיסטוכרון (המילה "ברכיסטוכרון" היא הלחם שמקורו יוונית (βράχιστος χρόνος), ומשמעותו "הזמן הקצר ביותר") הגיעה אל המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי. אחיו, יוהאן ברנולי, גם הוא מתמטיקאי שווייצרי, השתמש בבעיית הטאוטוכרון (אותו זמן) לפתרון הבעיה, שנחשב לאלגנטי וקצר יותר מפתרונו של יאקוב. יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא חשבון וריאציות.

אופי הבעיה

נביא את הבעיה המתמטית לצורה הבאה:

$${\begin{aligned}S=&\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}L\left[y(x),{\frac {\partial y}{\partial x}},x\right]dx\\&{\begin{cases}y(x_{1})=y_{1}\\y(x_{2})=y_{2}\end{cases}}\end{aligned}}$$

מטרתנו היא למצוא את הפונקציה $y(x)$ אשר תביא את הפונקציונל לאקסטרמום.

על פי חשבון הווריאציות, הפונקציה המבוקשת מתקבלת על ידי פתרון משוואת אוילר-לגראנז':

$${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y'}}\right]=0$$

חישוב

נניח שקיים אקסטרמום לפונקציונל ושהפונקציה אשר מביאה אליו היא $y_{0}(x)$.

נוכל לבטא כל פונקציה בצורה $y(x)=y_{0}(x)+\epsilon \cdot \eta (x)$, כאשר $\eta (x)$ פונקציה כלשהי ובעלת תנאי השפה $\eta (x_{1})=\eta (x_{2})=0$, כך ש־$y(x)$ מקיימת את תנאי השפה ו־$\epsilon$ מספר ממשי כלשהו.

נשים לב שתחת הנחותינו מתקיים: $S=S{\bigl (}\eta (x),\eta '(x),\epsilon {\bigr )}$ ויותר מכך, מתקיים: ${\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}=0$

נפתח את הביטוי למקסימה של הפונקציונל:

${\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}={\frac {\partial S}{\partial y}}{\Bigg |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {\partial y}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial S}{\partial y'}}{\Bigg |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {\partial y'}{\partial \epsilon }}={\frac {\partial S}{\partial y_{0}}}\cdot \eta +{\frac {\partial S}{\partial y_{0}'}}\cdot {\frac {d\eta }{dx}}$

מכיוון שגבולות האינטגרל בפונקציונל אינם תלויים ב־$\epsilon$ נוכל להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה. לאחר מכן נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:

${\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}\cdot \eta +{\frac {\partial L}{\partial y_{0}'}}\cdot {\frac {d\eta }{dx}}\right)dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y_{0}'}}\right]\right)\eta \,dx+\left[{\frac {\partial L}{\partial y_{0}'}}\right]\cdot \eta \,{\Bigg |}_{x_{1}}^{x_{2}}$

נזכור כי $\eta$ מתאפסת בנקודות הקצה ולכן האבר האחרון מתאפס. נקבל: ${\frac {dS}{d\epsilon }}{\Bigg |}_{\epsilon =0}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y_{0}'}}\right]\right)\eta \,dx=0$

מכיוון ש־$\eta$ פונקציה שרירותית, נקבל לפי הלמה היסודית של חשבון וריאציות כי:

$${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y'}}\right]=0$$

הכללות

ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר-לגראנז' באותה שיטה גם למקרים הבאים:

• פונקציונל של N פונקציות $q_{i}(t)$

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{i}'}}\right]=0$ זהו קבוצת N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות $q_{i}(t)$

• פונקציונל של פונקציות הפועלות על מרחב וקטורי $F({\vec {r}})$$${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigr )}}}\right]+{\frac {d}{dy}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\bigr )}}}\right]+{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\bigl (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigr )}}}\right]-{\frac {\partial L}{\partial F}}=0$$
• פונקציונל של לגרנז'יאן שתלוי גם בנגזרות גבוהות של $y(x)$ כך $L(y,y',y'',...,{y}^{(N)},x)$ (למשוואה זאת קוראים גם כן Euler–Poisson equation)

$$\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}{d^{k} \over dx^{k}}{\biggl [}{\partial L \over \partial y^{(k)}}{\biggl ]}=0$$

זהות בלטראמי

זהות בלטראמי היא צורה חלופית לניסוח משוואת אוילר-לגראנז'; פתרון משוואת אוילר-לגראנז' באמצעות זהות בלטראמי לרוב יהיה יותר פשוט.

זהות בלטראמי עובדת רק בתנאי ש- ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$ (תנאי הקובע ש- $L$ אסור להיות תלוי ישירות ב-$x$, הוא יכול להיות תלוי ב-$x$ רק בצורה עקיפה דרך $y(x)$ ו-$y'(x)$, $x$ לא מופיע בנפרד). בעזרת תנאי זה ניתן לפשט את משוואת אוילר-לגראנז' לזהות בלטראמי.$$L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=const$$

פיתוח זהות בלטראמי

תחילה נגזור את $L$ לפי $x$ בעזרת כלל השרשרת.

${dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}+{\partial L \over \partial x}$

לפי התנאי ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

${dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}$

נפשט את הביטוי:

${dL \over dx}={\partial L \over \partial y}{dy \over dx}+{\partial L \over \partial y'}{dy' \over dx}={\partial L \over \partial y}y'+{d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}-{d \over dx}{\Bigl (}{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}y'=y'{\biggl (}{\partial L \over \partial y}-{d \over dx}{\Bigl (}{\partial L \over \partial y'}{\Bigr )}{\biggl )}+{d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}$

לפי משוואת אוילר-לגראנז':

${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial L}{\partial y'}}\right]=0$

לכן הביטוי הוא:

${dL \over dx}={d \over dx}{\Bigl (}y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}$

ולכן:

${d \over dx}{\Bigl (}L-y'{\partial L \over \partial y'}{\Bigl )}=0$

נבצע אינטגרל בשני צידי המשוואה ונקבל את זהות בלטראמי:

$$L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=const$$

דוגמאות

דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שאורך לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי ${\vec {f}}(s)={\bigl (}x(s),y(s),z(s){\bigr )}$ כאשר $(x,y,z)$ הן קואורדינטות ו־$s$ פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה ${\vec {r}}=(x,y,z)$ במרחב היא $c({\vec {r}})$ ו־$s$ מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר $T$ בין שתי הנקודות נתון בביטוי:

$$T=\int {\frac {ds}{c({\vec {r}}(s))}}$$

מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר $T$, וחשבון הווריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם $T$ מינימלי, ולכן חשבון הווריאציות הוא הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.

דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון ("הזמן הקצר ביותר"):

נתון חלקיק בשדה כבידה אחיד $g$ בכיוון $y$. בהנחה שבתחילת דרכו החלקיק נמצא בראשית הצירים במנוחה, מהו המסלול $y(x)$ עבורו זמן המעבר לנקודה מרוחקת (נמוכה יותר) הוא מינימלי?

כיוון שהקואורדינטה $y$ מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור האנרגיה קובע שמהירותו היא $v={\sqrt {-2gy}}$. לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הוא:

$$T=\int {\frac {\sqrt {1+y'(x)^{2}}}{\sqrt {-2gy(x)}}}\,dx$$

קישורים חיצוניים

• חשבון וריאציות, באתר MathWorld (באנגלית)
• חשבון וריאציות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• חשבון וריאציות, דף שער בספרייה הלאומית